期望的线性基础
负二项分布的期望
模式匹配
优惠券收集
非负随机变量的期望非负性
$Proof1$：
$$
\mathbb{E}\left[ X \right] =\sum_{x\ge 0}{x\cdot Pr\left( X=x \right) =\sum_{x\ge 0}{\sum_{k=0}^{x-1}{Pr\left( X=x \right)}=\sum_{k\ge 0}{Pr\left……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-10) 223浏览 0评论
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不常见分布
负二项分布
负二项分布实际上就是几何分布的“多重成功”推广，$X$被定义为$r$次伯努利试验成功前，失败的次数。$X$在${0,1,2,…}$内取值，故易得：
$$
p_X\left( k \right) =Pr\left( X=k \right) =C_{k+r-1}^{k}\cdot \left( 1-p \right) ^k\cdot p^r
$$
$$
=\left( -1 \ri……继续阅读 »
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1年前 (2023-09-08) 222浏览 0评论
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相关概念
受限的独立性
相互独立的事件序列一定是两两独立的，反之不一定：
乘积概率空间
Error Reduction (one-sided case)
基本概念
定义一个决定性问题：
$$
f:\left\{ 0,1 \right\} ^*=\left\{ 0,1 \right\}
$$
有一个具有单边错误的蒙特卡洛随机算法$\mathscr{A}$，算法满足：
$\forall x\in \lef……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-07) 231浏览 0评论
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全概率公式
证明
$Proof$：1、令互不相交事件序列$B_1,B_2,…B_n$构成样本空间，且对于任意$i$都有$Pr(i) \ge 0$；
2、则事件序列$A\cap B_1,\cap B_2,…A\cap B_n$亦不相交，且$A=\bigcup_{i=1}^n{A\cap B_i}$；
3、故$Pr\left( A \right) =\sum_{i=1}^n{Pr\left( ……继续阅读 »
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1年前 (2023-09-06) 239浏览 0评论
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条件概率
引入
条件概率就是在给定部分信息的基础上对试验结果的推断，其通常被定义为事件$A$在事件$B$发生的条件下发生的概率为：
$$
Pr\left( A\mid B \right) =\frac{Pr\left( A\cap B \right)}{Pr\left( B \right)}
$$
再谈有偏的硬币
约翰·冯·诺伊曼（1951）：“假设有一枚硬币，投掷其得到人头面的概率是未知的。如何用这枚硬币来……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-05) 196浏览 0评论
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Union Bound（一致界）
Union Bound 即布尔不等式，对于事件$A_1,A_1,A_1,\cdot \cdot \cdot \in \varSigma $都有：
$$
Pr\left( \bigcup_{i=1}^n{A_i} \right) \le \sum_{i=1}^n{Pr\left( A_i \right)}
$$
鸽巢原理
$f$是一个$X$到$Y$的映射，若$0……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-04) 268浏览 0评论
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Buffon’s Needle Problem (蒲丰投针问题)
若一根长度为 $l$的短针，抛在横线间间距为$d\ge l$的均匀横纹纸上，则针落在一个与某条横线相交的位置的概率恰为$p = \frac{2l}{\pi d} $。这个结果意味着可以通过实验得到$\pi$的近似值：掷针$N$次,得到正面的结果(相交) $P$次，则$\……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-03) 262浏览 0评论
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集合
概率论大量应用集合运算，集合通过将一些研究对象放在一起形成，而这些对象则称为集合的元素。将我们感趣的所有元素素放在一起形成一个集合，这个集合即为后文所称的空间。
概率模型
概率模型的基本构成包括样本空间和概率律。
样本空间
每一个概率模型都关联着一个试验，这个试验将产生一个试验结果，该试验的所有可能结果形成样本空间，用 $\varOmega $表示样本空间；样本空间的子集即某些试验结果的集合，称为事件。样……继续阅读 »
yanzexi
2年前 (2023-08-22) 257浏览 0评论
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内容大纲
855 的概率论与数一的概率论有相同点也有不同点，具体的可以去这门课程的课程主页了解，下面是传送门：
主页传送门
总的来说 855 概率论主要分为三个模块：
1、经典概率论：主要包括概率空间、随机变量及其数字特征、多维及连续随机变量、极限定理；
2、概率与计算：主要包括测度集中 (concentration of measure)、概率法 (the probabilistic method)、离散随机过程；……继续阅读 »
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2年前 (2023-08-21) 364浏览 0评论
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