函数、极限与连续
无穷大量$vs$无界变量
无穷大量一定是无界变量，反之则不一定：
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\text{无穷大量：}\forall M> 0\text{，}\exists N> 0\text{，当}n> N\text{时恒有}\left| X_n \right|> M\\
\text{无界变量……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-10-29) 256浏览 0评论
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霍夫丁界
最一般的霍夫丁界
若$r.v.$ $X_1,X_2,…,X_N$相互独立，且$X_i$的均值为$\mu _i$，次高斯参数为$\sigma _i$，则对任意的$\epsilon >0$都有：
$$
Pr\left[ \sum_{i=1}^n{\left( X_i-\mu _i \right)}\ge \epsilon ……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-10-06) 332浏览 0评论
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次高斯性
次高斯性
设$X$为一个均值为$\mu =\mathbb{E}\left[ X \right] $的$r.v.$，若存在$\sigma >0$使得：
$$
\mathbb{E}\left[ exp\left\{ \lambda \left( X-\mu \right) \right\} \right] \le exp\left\{ \……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-10-05) 312浏览 0评论
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切尔诺夫界的拓展
某些情况下更好的界推导
相互独立的$r.v.$序列$X_1,X_2,…X_n$满足：
$$
Pr\left( X_i=1 \right) =Pr\left( X_i=-1 \right) =\frac{1}{2}
$$
记$X=\sum_{i=……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-10-04) 272浏览 0评论
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切尔诺夫界的导出
引入
假设$X$为一个$r.v.$，若存在$h>0$使得对任意的$\lambda \in \left[ 0,h \right] $都有$\mathbb{E}\left[ e^{\lambda x} \right] $存在，则称$X$存在一个矩母函数$(MGF)$记作$M_X\left( \lambda \right) $。
&……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-10-03) 490浏览 0评论
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引入
概念
特征函数可以理解为是矩母函数的一种变换，其被定义为：
$$
\varphi _X\left( t \right) =\mathbb{E}\left[ e^{itX} \right] ,i=\sqrt{-1}
$$
可以通过傅里叶变换进行表达：
$$
\varphi _X\left( t \right) =\int{e^{itx}\ dF_X\left( x \right) =\mathbb{E}\lef……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-30) 215浏览 0评论
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大数定理
伯努利大数定理
当$n$趋于无穷时$n$次伯努利试验的样本均值依概率收敛于期望：
LLN
Weak LLN Assuming Bounded Variance
中心极限定理
棣莫弗－拉普拉斯定理（局部极限定理）
CLT
CLT 的收敛率
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yanzexi
1年前 (2023-09-28) 234浏览 0评论
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继续探讨收敛模式
几乎必定收敛的条件
几乎必定收敛 $VS$ 依概率收敛
延伸
耦合
Skorokhod 定理：对于一个概率空间$(X,\mathscr{F},\mu)$中的依分布收敛的随机变量列$f_n\overset{d}\rightarrow f$，总是存在另一个概率空间 $(\tilde{X},\tilde{\mathscr{F}},\tilde{\mu})$中的随机变量列$\tilde{f_……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-27) 227浏览 0评论
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引入
极限定理
敛散性
关于函数列逐点收敛的直观理解可以参考视频
收敛模式
这部分内容可以看看视频
引入
依分布收敛
依概率收敛
依分布收敛是依概率收敛的必要条件：
几乎必然收敛
依概率收敛是几乎处处收敛的必要条件：
相关概念引入
概率测度的连续性
详见：
$Borel–Cantelli Lemmas$
可以参考：
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yanzexi
1年前 (2023-09-26) 326浏览 0评论
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引入
正态分布
一些性质
线性变换
卷积
线性变换的卷积证明
标准正态分布
Large Deviation (Concentration) Bound
引入
矩母函数与标准正态分布的矩母函数
引入矩母函数后的再探讨
衍生分布
二元正态分布
已知二元正态分布服从$\mathscr{……继续阅读 »
yanzexi
1年前 (2023-09-22) 304浏览 0评论
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