函数、极限与连续
无穷大量一定是无界变量，反之则不一定：
$$
\left\{ \begin{array}{l}
\text{无穷大量：}\forall M> 0\text{，}\exists N> 0\text{，当}n> N\text{时恒有}\left| X_n \right|> M\\
\text{无界变量：}\forall M> 0\text{，}\exists N> 0\text{，使得}\left| X_n \right|> M\text{成立}\\
\end{array} \right.
$$
函数连续则其绝对值亦连续，反之不成立，如：
$$
\begin{cases}
1& x\in Q\\
-1& x\in R/Q\\
\end{cases}
$$
仅在 0 处连续的函数：
$$
\begin{cases}
0& x\in Q\\
x^2& x\in R/Q\\
\end{cases}
$$
$$
\lim_{x\rightarrow \infty}x_{kn}=\lim_{x\rightarrow \infty}x_{kn}=a\longrightarrow \lim_{x\rightarrow \infty}x_n=a
$$
上式只有在$k< 3$的时候才成立。
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}=lna\,\,,\,\,\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1\,\,,\,\,\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1\left( a>\,\,0 \right)
$$
$$
\lim_{x\rightarrow 0}x^x=1\ ,\ \lim_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}=1
$$
$$
\left( 1+f\left( x \right) \right) ^{g\left( x \right)}-1\sim f\left( x \right) g\left( x \right) \ ,\ a^x-1\sim xlna
$$
$$
x-sinx\sim arcsinx-x=\frac{1}{6}x^3\ ,\ x-ln\left( l+x \right) \sim \frac{1}{2}x^2
$$
$$
tanx-x=x-arctanx\sim \frac{1}{3}x^3\ ,\ \log _a\left( 1+x \right) \sim \frac{x}{lna}\left( a>\ 0,a\ne 1 \right)
$$
$$
\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+o\left( x^7 \right)
$$
$$
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdot \cdot \cdot +\frac{\left( -1 \right) ^n\cdot x^{2n+1}}{2n+1}
$$
$$
\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \cdot \cdot \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
$$
若$\lim_{x\rightarrow \infty}f\left( x \right) =A\ne 0\ ,\ \lim_{x\rightarrow \infty}g\left( x \right) =\infty $则有：
$$
\lim_{x\rightarrow \infty}\int_0^{g\left( x \right)}{f\left( t \right) dt=\infty}
$$
当$x\rightarrow \infty $时，$\frac{1}{e^x}$是$\frac{1}{x^{\alpha}}$的高阶无穷小，$\frac{1}{ln^{\beta}x}$是$\frac{1}{x^{\alpha}}$的低阶无穷小。
若$f(x)$单调递减则：
$$
f\left( k+1 \right) \le f\left( \xi \right) \left[ \left( k+1 \right) -k \right] ,\xi \in \left[ k,k+1 \right] =\int_k^{k+1}{f\left( x \right) dx\le f\left( k \right)}
$$
1、若$f(x)$与$g(x)$互为反函数则$f\left[ g\left( x \right) \right] =x$；
2、数列$u_n$的敛散性与其前有限项无关；
3、$x\rightarrow x_0$时$f\left( x \right)$的极限为无穷大量，不能说明$e^{f\left( x \right)}$是否也为无穷大量。
4、子数列收敛不能说明数列收敛，除非数列是单调数列。
5、函数极限可以推出绝对值的极限，反之则不能；
6、初等函数在其定义域中不一定连续，如$\sqrt{\sin x-1}$，但其在定义区间内是连续的；基本初等函数则在其定义域内连续。
7、开区间连续不能说明函数有界，但是闭区间可以；
8、数列极限存在的充要条件为：$\underset{x\rightarrow \infty}{lim}x_{2n}=\underset{x\rightarrow \infty}{lim}x_{2n+1}=A$。
9、$\underset{x\rightarrow \infty}{lim}(a_n-b_n)=0$不能说明两者极限相等，可能不存在；
1、对于$x_{n+1}=f(x_n)$，若$f’\left( x \right) > 0$则数列单调；若$f’\left( x \right) < 0$则数列不单调（利用反证法可证）； 2、$x_{n+1}=f(x_n)$型，若$f(x)$有界则数列亦有界； 3、$\frac{x}{1+x}< ln\left( x+1 \right) < x$
证明单调性的方法：1、$x_{n+1}-x_n$的正负性；2、$\frac{x_{n+1}}{x_n}$与 1 的关系；3、基本不等式$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$；4、$f’\left( x \right)> 0$。
证明有界性的方法：1、基本不等式；2、先算出极限$a$来，然后证明$x_1< k$...$x_n< k$、$x_{n+1}< k$；利用题目条件放缩；4、递推函数有界。 难以判定是否单调，先求极限，证明$\left| x_n-A \right|\rightarrow 0$。 证明级数$\sum_{k=1}^{n}{\left( x_k-x_{k-1} \right)}$收敛；（拉格朗日+放缩）
1、令变化部分为$x$；
2、取分别对变化部分取两端极限定积分上下限；
3、定小区间长度是否正确，长度为$\frac{\text{上界}-\text{下界}}{\text{份数}}$。
（1）$\exists k\in \left( 0,1 \right) $使得$\left| x_{n+1}-x_n \right|\le k\left| x_n-x_{n-1} \right|$，利用比值审敛法可以推出$\left| x_n-x_{n-1} \right|$收敛，进而可以推得下式收敛：
$$
x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}{\left( x_{k+1}-x_k \right)}
$$
（2）条件改为$\left| f’\left( x \right) \right|\le k$可以推得：
$$
\left| x_{n+1}-x_n \right|=\left| f\left( x_n \right) -f\left( x_{n-1} \right) \right|=\left| f’\left( \xi \right) \right|\left| x_n-x_{n-1} \right|
$$
$$
\le k\left| x_n-x_{n-1} \right|\le \cdot \cdot \cdot \le k^n\left| x_1-x_0 \right|
$$
对于任意正整数$n(n \ge 2)$，必存在$x_n\in \left[ 0,1 \right] $使得$f\left( x_n \right) =f\left( x_n+\frac{1}{n} \right) $成立，其中$f(0)=f(1)$：
$proof$：令$F(x)=f\left( x+\frac{1}{n} \right) -f\left( x \right)$，则$x\in \left[ 0,\frac{n-1}{n} \right] $故有：
$$
F\left( 0 \right) =f\left( \frac{1}{n} \right) -f\left( 0 \right) \ ,\ F\left( \frac{1}{n} \right) =f\left( \frac{2}{n} \right) -f\left( \frac{1}{n} \right) \cdot \cdot \cdot
$$
$$
F\left( \frac{n-2}{n} \right) =f\left( \frac{n-1}{n} \right) -f\left( \frac{n-2}{n} \right) \ ,\ F\left( \frac{n-1}{n} \right) =f\left( 1 \right) -f\left( \frac{n-1}{n} \right)
$$
全部相加得$f(1)-f(0)=0$，若$F(x)$在$x\in \left[ 0,\frac{n-1}{n} \right] $内不存在零点则各项和相加不为零，相互矛盾故$F(x)$在$x\in \left[ 0,\frac{n-1}{n} \right] $内必有零点，命题得证！
