855学习记录之概率论极限定理（4）特征函数—— 炎泽汐$de$ Blog

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引入
性质
再谈$LLN$与$CLT$

引入

概念

特征函数可以理解为是矩母函数的一种变换，其被定义为：

$$
\varphi _X\left( t \right) =\mathbb{E}\left[ e^{itX} \right] ,i=\sqrt{-1}
$$

可以通过傅里叶变换进行表达：

$$
\varphi _X\left( t \right) =\int{e^{itx}\ dF_X\left( x \right) =\mathbb{E}\left[ \cos tX \right] +i\mathbb{E}\left[ \sin tX \right]}
$$

相较于矩母函数，特征函数总数是存在的：

$$
\left| \varphi \left( t \right) \right|=\left| \int_{-\infty}^{\infty}{e^{jtx}}\text{d}F_X\left( x \right) \right|\leq \int_{-\infty}^{\infty}{\left| e^{jtx} \right|}\text{d}F_X\left( x \right) =1
$$

Boundedness

正态分布的特征函数

证法一：

$$
\varphi _X\left( t \right) =\mathbb{E}\left[ e^{itX} \right] =\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{itx-\frac{x^2}{2}}dx}
$$

$$
=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2-2itx+i^2t^2-i^2t^2}{2}}dx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left( x-it \right) ^2}{2}}dx}=e^{-\frac{t^2}{2}}
$$

证法二（基于傅里叶变换）：