855学习记录之概率论连续分布（2）高斯分布—— 炎泽汐$de$ Blog

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引入

正态分布

线性变换

卷积

线性变换的卷积证明

标准正态分布

引入

矩母函数与标准正态分布的矩母函数

引入矩母函数后的再探讨

二元正态分布

已知二元正态分布服从 $N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ)$ 则 $a X + b Y + c$ 服从一元正态分布：

$N (a μ_{1} + b μ_{2} + c, a^{2} σ_{1}^{2} + b^{2} σ_{2}^{2} + 2 a b ρ σ_{1} σ_{2})$

在 2023 年的真题中，已知 $X ， Y$ 服从二维正态分布 $N (1, - 2, 4, 9, 1 / 4)$ ，求解马尔可夫不等式 $P r (| 2 X + Y |^{2} \geq 1) \leq$ ？易知本题只需要求 $E [{| 2 X + Y |}^{2}]$ ，显然有：

$E [{| 2 X + Y |}^{2}] = E [{(2 X + Y)}^{2}] = V a r (2 X + Y) + E {[2 X + Y]}^{2}$

通过简单计算可得：

$V a r (2 X + Y) = a^{2} σ_{1}^{2} + b^{2} σ_{2}^{2} + 2 a b ρ σ_{1} σ_{2} = 31$

$E {[2 X + Y]}^{2} = 0$

原题得解！

多元正态分布

卡方分布