不常见分布
负二项分布实际上就是几何分布的“多重成功”推广，$X$被定义为$r$次伯努利试验成功前，失败的次数。$X$在${0,1,2,…}$内取值，故易得：
$$
p_X\left( k \right) =Pr\left( X=k \right) =C_{k+r-1}^{k}\cdot \left( 1-p \right) ^k\cdot p^r
$$
$$
=\left( -1 \right) ^k\cdot \frac{\left( -k-r+1 \right) \cdot \left( -k-r+2 \right) …\left( -r \right)}{k!}=\left( -1 \right) ^k\cdot C_{-r}^{k}\cdot \left( 1-p \right) ^k\cdot p^r
$$
多项式分布本质是二项式分布的“多维”推广，有一个具有$n$次试验的结果序列，每次试验总共有$m$种不同的结果，且每次试验得到第$i$种结果的概率为$p_i$，令$X_i$为第$i$种结果出现的次数。则$\left( X_1,X_2…X_m \right) $取值为$\left( k_1,k_2…k_m \right) $且$k_1+k_2+…+k_m=1$时的概率为：
$$
p_{\left( X_1,X_2…X_m \right)}\left( k_1,k_2…k_m \right) =Pr\left( \bigcap_{i=1}^m{\left( X_i=k_i \right)} \right)
$$
$$
=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \cdot \cdot k_m!}\cdot p_{1}^{k_1}\cdot p_{2}^{k_2}\cdot \cdot \cdot p_{m}^{k_m}
$$
多项式分布可用泊松分布进行近似，对于$\left( Y_1,Y_2…Y_m \right) :Y_i~P\left( \lambda _i \right) $有$Y_i$之间相互独立且$\lambda _i=np_i$。在给定$\sum{Y_i=n}$时，有$\left( X_1,X_2…X_m \right)$与$\left( Y_1,Y_2…Y_m \right)$同分布。
$Proof$：
$$
Pr\left[ \left( Y_1,Y_2…Y_m \right) =\left( k_1,k_2…k_m \right) |Y_1+Y_2+…+Y_m=n \right]
$$
$$
=\left( \prod_{i=1}^m{\frac{e^{-np_i}\cdot \left( n\cdot p_i \right) ^{k_i}}{k_i!}} \right) /\frac{e^{-n}\cdot n^n}{n!}
$$
$$
=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \cdot \cdot k_m!}\cdot p_{1}^{k_1}\cdot p_{2}^{k_2}\cdot \cdot \cdot p_{m}^{k_m}
$$
$$
=Pr\left[ \left( X_1,X_2…X_m \right) =\left( k_1,k_2…k_m \right) \right]
$$
离散随机变量模型
